נגזרת חלקית

• במימד יחיד, הנגזרת מתארת את קצב השינוי של פונקציה ביחס למשתנה שלה

• בפונקציה מרובת משתנים, נגזרת בעבור משתנה מסוים היא בדיקה איך משפיע שינוי באותו משתנה על הפונקציה בעוד ששאר המשתנים "מוחזקים במקום" כקבועים

  דוגמא לנגזרת במימד יחיד:

  $$f(x)=x^2+3x$$

דוגמא לנגזרת בשני מימדים:

כדאי לשים לב להבדל בסימון ההכרזה על נגזרת בין 2 הנגזרות!

כלל השרשרת הרב משתני

• בעצם נבצע כאן את המקבילה הרב משתנית לנגזרת של פונקציה פנימית במספר פונקציות אשר מורכבות אחת על השניה

  לדוגמא:

נגזרת כיוונית

• הנגזרת הכיוונית עוזרת לנו למצוא את קצב השינוי של פונקציה בכיוון כלשהוא במישור כאשר יש לנו נקודה התחלתית ממנה אנחנו מחשבים.
• סוג של "לאיפה וכמה מטיילים מהנקודה בה אנחנו נמצאים"
• כדי למצוא את הכמה מטיילים, נעזר בגרדיאנט

גרדינט

• הגודל שאותו נלך בכל ציר עבור פונקציה מסוימת ונק' התחלתית.

• חשוב לזכור:

  1. הנגזרת הכיוונית מקסימלית כאשר הגרדינט ווקטור היחידה באותו כיוון.
  2. הנגזרת הכיוונית מינימלית כאשר הגרדינט ווקטור היחידה בכיוונים מנוגדים.
  3. הנגזרת הכיוונית היא אפס כאשר הגרדינט ווקטור היחידה ניצבים.

• המשמעות הגאומטרית של גרדיאנט:

  • הגרדינט הוא כיוון העלייה המקסימלי של הפונקציה
  • מינוס הגרדינט הוא כיוון הירידה המקסימלי של הפונקציה
  • בכל כיוון המאונך לגרדינט קצב השינוי הוא 0

דוגמא לשימוש בגרדינט לחישוב נגזרת כיוונית:
מצאו את הנגזרת של $f(x,y)=x{e}^y+cos(xy)$ בנקודה (2,0) בכיוון (4-, 3).
1. נתחיל מלחשב את וקטור היחידה (הכיוון):
$\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{A}}{\parallel \overrightarrow{A}\parallel }=\frac{(3,-4)}{\sqrt{9+16}}=(\frac{3}{5},\frac{-4}{5})$
2. נחשב את הגרדינט (גודל הצעדים):
$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})=(e^y-ysin(xy),x{e}^y-xsin(xy))$
3. כדי לקבל את הנגזרת הכיוונית מכפילים את הגרדינט בכיוון:
$D_{\overrightarrow{u}}f{|}_{2,0}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f{|}_{2,0}\cdot \overrightarrow{u}=(1,2)\cdot (\frac{3}{5},\frac{-4}{5})=-1$